К окружности с центром O проведена касательная BM (M – точка касания). Найдите площадь треугольника BOM, если \(\angle BOM = 60^\circ\), а радиус окружности равен 6.

Так как BM - касательная к окружности с центром O, то радиус OM перпендикулярен касательной в точке касания M. Следовательно, треугольник BOM - прямоугольный с углом \(\angle BOM = 60^\circ\). В прямоугольном треугольнике BOM: \(\angle BOM = 60^\circ\), \(\angle OMB = 90^\circ\), следовательно, \(\angle OBM = 180^\circ - 90^\circ - 60^\circ = 30^\circ\). OM - катет, лежащий против угла 30°, поэтому $$BM = OM * \sqrt{3} = 6\sqrt{3}$$ Площадь прямоугольного треугольника BOM равна половине произведения его катетов: $$S_{BOM} = \frac{1}{2} * OM * BM = \frac{1}{2} * 6 * 6\sqrt{3} = 18\sqrt{3}$$ Ответ: $$18\sqrt{3}$$