К окружности с центром O проведены касательные AM и AT (M и T – точки касания). Отрезки AO и MT пересекаются в точке C. Найдите длину отрезка AC, если AM = 10, MT = 12.

Так как AM и AT - касательные к окружности, проведенные из одной точки A, то AM = AT. Следовательно, треугольник AMT - равнобедренный. AO - биссектриса угла MAT, а в равнобедренном треугольнике биссектриса, проведенная к основанию, является также медианой и высотой. Значит, AO перпендикулярна MT и делит MT пополам. Таким образом, MC = CT = MT / 2 = 12 / 2 = 6. Рассмотрим прямоугольный треугольник AMC. AM = 10, MC = 6. По теореме Пифагора: $$AM^2 = AC^2 + MC^2$$ $$10^2 = AC^2 + 6^2$$ $$100 = AC^2 + 36$$ $$AC^2 = 100 - 36$$ $$AC^2 = 64$$ $$AC = \sqrt{64}$$ $$AC = 8$$ Ответ: 8