4. К окружности с центром О проведена касательная MN (M- точка касания). Найдите отрезок MN, если ON=12 см и ∠NOM=30°

Так как MN - касательная, OM перпендикулярна MN (OM - радиус). Значит, \(\triangle OMN\) - прямоугольный, где \(\angle OMN = 90^\circ\). В прямоугольном треугольнике против угла в 30° лежит катет, равный половине гипотенузы, то есть \(OM = \frac{1}{2} ON = \frac{1}{2} \cdot 12 = 6\) см. По теореме Пифагора: \(MN^2 = ON^2 - OM^2 = 12^2 - 6^2 = 144 - 36 = 108\), следовательно, \(MN = \sqrt{108} = \sqrt{36 \cdot 3} = 6\sqrt{3}\) см. Ответ: \(MN = 6\sqrt{3}\) см.