К окружности с центром О проведена касательная ВМ (М – точка касания). Найдите площадь треугольника ВОМ, если ∠ВОМ = 60°, а радиус окружности равен 6.

Разбираемся:

Так как ВМ – касательная к окружности, угол ОМВ прямой (90°). Треугольник ВОМ – прямоугольный. ∠ВОМ = 60°, значит ∠ОВМ = 30° (так как сумма углов в треугольнике 180°).

OM = 6 (радиус), является катетом, прилежащим к углу 60°.

В прямоугольном треугольнике катет, противолежащий углу в 30°, равен половине гипотенузы. Поэтому ОМ - катет, прилежащий к углу в 60°, тогда:

\[BM = OM \cdot tg(60°) = 6 \cdot \sqrt{3}\]

Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов:

\[S = \frac{1}{2} \cdot OM \cdot BM\]

Подставляем известные значения:

\[S = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 6\sqrt{3} = 18\sqrt{3}\]

Ответ: Площадь треугольника BOM равна \[18\sqrt{3}\]

Проверка за 10 секунд: Убедись, что площадь треугольника имеет размерность, соответствующую площади (в данном случае, единицы в квадрате).

Доп. профит: Читерский прием: Помни, что в прямоугольном треугольнике с углом 30° катет, лежащий напротив этого угла, равен половине гипотенузы. Это упрощает расчеты!