Камень брошен с поверхности земли вертикально вверх со скоростью 10 м/с. На какой высоте кинетическая энергия камня уменьшится в 5 раз по сравнению с начальной?

Решение:

1. Начальная скорость камня \( v_0 = 10 \text{ м/с} \).
2. Начальная кинетическая энергия: \[ E_{k0} = \frac{mv_0^2}{2} \]
3. На высоте \( h \) кинетическая энергия должна уменьшиться в 5 раз, то есть стать \( E_k = \frac{E_{k0}}{5} \).
4. Запишем закон сохранения энергии: \( E_{k0} = E_k + E_p \), где \( E_p = mgh \) — потенциальная энергия на высоте \( h \).
5. Подставляем значения: \[ \frac{mv_0^2}{2} = \frac{1}{5} \left( \frac{mv_0^2}{2} \right) + mgh \]
6. Сокращаем массу \( m \) и \( \frac{1}{2} \): \[ v_0^2 = \frac{1}{5} v_0^2 + gh \]
7. Выражаем \( gh \): \[ gh = v_0^2 - \frac{1}{5} v_0^2 = \frac{4}{5} v_0^2 \]
8. Находим высоту \( h \): \[ h = \frac{4v_0^2}{5g} \]
9. Подставляем значения \( v_0 = 10 \text{ м/с} \) и \( g \approx 10 \text{ м/с}^2 \): \[ h = \frac{4 \cdot (10 \text{ м/с})^2}{5 \cdot 10 \text{ м/с}^2} = \frac{4 \cdot 100 \text{ м}^2/\text{с}^2}{50 \text{ м/с}^2} = \frac{400}{50} \text{ м} = 8 \text{ м} \].

Ответ: 8 м.