5. Карлсон ест варенье вдвое быстрее, чем Малыш, а торт он ест втрое быстрее, чем Малыш. Однажды они съели банку варенья и торт. Карлсон начал с торта, а Малыш с варенья. Покончив с тортом, Карлсон помог Малышу доесть варенье, и на всё это у них ушло два часа. а) Сколько времени потратил бы Карлсон, чтобы съесть и торт, и варенье в одиночку? б) В другой раз они съели такую же банку варенья и такой же торт, но Малыш ел торт, а Карлсон начал с варенья. Съев его, Карлсон помог Малышу доесть торт. За какое время они управились на этот раз?

a) Пусть t - время, за которое Малыш ест варенье, T - время, за которое Малыш ест торт. Тогда Карлсон ест варенье за t/2, а торт за T/3. В первом случае: Карлсон ел торт время x, Малыш ел варенье время x. Затем Карлсон ел варенье время y, и Малыш ел варенье время y. x/(T/3) + x/t = 1 => 3x/T + x/t = 1 (1) - за время x съели торт и варенье. y/(t/2) + y/t = 1 => 2y/t + y/t = 1 => 3y/t = 1 => y = t/3 (2) - за время y доели варенье Общее время: x + y = 2 часа. Из (2) y= t/3, t=3y. Подставим в (1) x+y = 2 => x + t/3 = 2 => x = 2 - t/3 = 2 -y. То есть x = 2-y. Из (1) 3x/T + x/t = 1 => x(3/T + 1/t) = 1 => x = 1/(3/T + 1/t) = 1/((3t+T)/Tt) = Tt/(3t+T). Тогда 2-y = Tt/(3t+T). Из (2) y = t/3 => t = 3y. 2 - t/3 = Tt/(3t+T) 2 - y = 3yT/(9y + T). Умножим на (9y + T). (2-y)(9y+T) = 3yT 18y + 2T - 9y^2 - yT = 3yT 18y + 2T - 9y^2 = 4yT 2T - 4yT = 9y^2 - 18y T(2-4y) = 9y(y-2) = -9y(2-y) T = -9y(2-y)/(2-4y) Если бы Карлсон ел все один, он бы потратил T/3 + t/2 = T/3 + 3y/2 = (-9y(2-y)/(3(2-4y))) + (3y/2) времени. б) Рассмотрим второй случай: Малыш ел торт время z, Карлсон ел варенье время z. Затем Карлсон ел торт время w и Малыш ел торт время w. z/T + z/(t/2) = 1 => z/T + 2z/t = 1 => z(1/T + 2/t) = 1 => z = 1/(1/T + 2/t) = Tt/(t+2T). w/T + w/(T/3) = 1 => w/T + 3w/T = 1 => 4w/T = 1 => w = T/4 Общее время: z + w. z + w = Tt/(t+2T) + T/4. Не получается решить в общем виде.