31.34 Катер прошёл 8 км по течению реки и 16 км против течения, затратив на весь путь $$\frac{4}{3}$$ ч. Какова скорость движения катера по течению, если собственная скорость катера равна 20 км/ч?

Обозначим скорость течения реки за $$x$$ км/ч.

Собственная скорость катера равна 20 км/ч.

Скорость катера по течению реки равна $$(20 + x)$$ км/ч, а скорость против течения $$(20 - x)$$ км/ч.

Время, затраченное на путь по течению, равно $$\frac{8}{20 + x}$$ ч.

Время, затраченное на путь против течения, равно $$\frac{16}{20 - x}$$ ч.

Общее время в пути равно $$\frac{4}{3}$$ ч.

Составим уравнение:

$$\frac{8}{20 + x} + \frac{16}{20 - x} = \frac{4}{3}$$

Разделим обе части на 4:

$$\frac{2}{20 + x} + \frac{4}{20 - x} = \frac{1}{3}$$

Приведем к общему знаменателю и решим:

$$2(20 - x) + 4(20 + x) = \frac{1}{3}(20 + x)(20 - x)$$ $$40 - 2x + 80 + 4x = \frac{1}{3}(400 - x^2)$$ $$120 + 2x = \frac{1}{3}(400 - x^2)$$ $$360 + 6x = 400 - x^2$$ $$x^2 + 6x - 40 = 0$$

Решим квадратное уравнение:

$$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$$ $$x = \frac{-6 \pm \sqrt{6^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-40)}}{2 \cdot 1}$$ $$x = \frac{-6 \pm \sqrt{36 + 160}}{2}$$ $$x = \frac{-6 \pm \sqrt{196}}{2}$$ $$x = \frac{-6 \pm 14}{2}$$

Так как скорость не может быть отрицательной, то $$x = \frac{-6 + 14}{2} = \frac{8}{2} = 4$$

Скорость течения реки равна 4 км/ч.

Скорость движения катера по течению реки равна $$20 + x = 20 + 4 = 24$$ км/ч.

Ответ: 24 км/ч.