31.30 Прогулочный теплоход отправился от пристани А к пристани В вниз по течению реки. После получасовой стоянки в В он отправился обратно и через 8 ч после отплытия из А вернулся к той же пристани. Какова собственная скорость теплохода, если расстояние между пристанями А и В равно 36 км, а скорость течения реки равна 2 км/ч?

Обозначим собственную скорость теплохода за $$x$$ км/ч.

Путь из А в В теплоход проплыл по течению реки, то есть со скоростью $$(x+2)$$ км/ч, а обратный путь из В в А — против течения, со скоростью $$(x-2)$$ км/ч.

Время, затраченное на путь из А в В, равно $$\frac{36}{x+2}$$ ч, а время на обратный путь — $$\frac{36}{x-2}$$ ч.

Из условия задачи известно, что общее время в пути составило 8 часов, не считая получасовой стоянки в пункте В.

Составим уравнение:

$$\frac{36}{x+2} + \frac{36}{x-2} = 8$$

Решим уравнение:

$$36(x-2) + 36(x+2) = 8(x+2)(x-2)$$ $$36x - 72 + 36x + 72 = 8(x^2 - 4)$$ $$72x = 8x^2 - 32$$ $$8x^2 - 72x - 32 = 0$$ $$x^2 - 9x - 4 = 0$$

Решим квадратное уравнение:

$$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$$ $$x = \frac{9 \pm \sqrt{(-9)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-4)}}{2 \cdot 1}$$ $$x = \frac{9 \pm \sqrt{81 + 16}}{2}$$ $$x = \frac{9 \pm \sqrt{97}}{2}$$

Так как скорость не может быть отрицательной, то $$x = \frac{9 + \sqrt{97}}{2}$$

Приблизительно, $$x \approx \frac{9 + 9.85}{2} \approx 9.43$$

Тогда, $$x = \frac{9 + \sqrt{97}}{2} \approx 9.43 \text{ км/ч}$$

Ответ: $$\frac{9 + \sqrt{97}}{2}$$ км/ч.