5. Катер прошёл 64 км против течения реки и 38 км по течению, затратив на путь по течению на 1 ч меньше, чем на путь против течения. Найдите собственную скорость катера, если скорость течения реки составляет 3 км/ч.

Пусть $$v$$ - собственная скорость катера (км/ч). Скорость против течения равна $$v - 3$$ км/ч, скорость по течению равна $$v + 3$$ км/ч. Время, затраченное на путь против течения, равно $$\frac{64}{v - 3}$$ ч, время, затраченное на путь по течению, равно $$\frac{38}{v + 3}$$ ч. По условию, время на путь по течению на 1 час меньше, чем на путь против течения. Составим уравнение: $$\frac{64}{v - 3} - \frac{38}{v + 3} = 1$$. Умножим обе части уравнения на $$(v - 3)(v + 3)$$ (при условии $$v ≠ 3$$ и $$v ≠ -3$$). Получаем: $$64(v + 3) - 38(v - 3) = (v - 3)(v + 3)$$. $$64v + 192 - 38v + 114 = v^2 - 9$$. $$26v + 306 = v^2 - 9$$. $$v^2 - 26v - 315 = 0$$. Найдем дискриминант: $$D = (-26)^2 - 4*1*(-315) = 676 + 1260 = 1936 = 44^2$$. $$v = \frac{26 ± 44}{2}$$. $$v_1 = \frac{26 + 44}{2} = \frac{70}{2} = 35$$, $$v_2 = \frac{26 - 44}{2} = \frac{-18}{2} = -9$$. Так как скорость не может быть отрицательной, то $$v = 35$$ км/ч. Ответ: 35 км/ч.