2.1) Катер прошёл 12км против течения реки и 5км по течению. При этом он затратил столько времени, сколько ему потребовалось бы, если бы он шёл 18км по озеру. Какова собственная скорость катера, если известно, что скорость течения реки равна 3км/ч.

Пусть \(v\) - собственная скорость катера (км/ч). 1. **Время движения против течения:** Скорость против течения: \(v - 3\) км/ч. Время против течения: \(\frac{12}{v-3}\). 2. **Время движения по течению:** Скорость по течению: \(v + 3\) км/ч. Время по течению: \(\frac{5}{v+3}\). 3. **Время движения по озеру:** Время по озеру: \(\frac{18}{v}\). 4. **Составим уравнение:** \(\frac{12}{v-3} + \frac{5}{v+3} = \frac{18}{v}\) 5. **Решим уравнение:** Умножим обе части на \(v(v-3)(v+3)\): \(12v(v+3) + 5v(v-3) = 18(v-3)(v+3)\) \(12v^2 + 36v + 5v^2 - 15v = 18(v^2 - 9)\) \(17v^2 + 21v = 18v^2 - 162\) \(v^2 - 21v - 162 = 0\) 6. **Найдем корни квадратного уравнения:** \(D = (-21)^2 - 4 * 1 * (-162) = 441 + 648 = 1089\) \(v_1 = \frac{21 + \sqrt{1089}}{2} = \frac{21 + 33}{2} = \frac{54}{2} = 27\) \(v_2 = \frac{21 - \sqrt{1089}}{2} = \frac{21 - 33}{2} = \frac{-12}{2} = -6\) 7. **Выберем подходящий корень:** Так как скорость не может быть отрицательной, выбираем \(v = 27\). **Ответ:** Собственная скорость катера равна 27 км/ч.