Решите уравнение: в) \(\frac{x-3}{x-2} + \frac{x-2}{x-3} = 2\frac{1}{2}\)

Для решения уравнения \(\frac{x-3}{x-2} + \frac{x-2}{x-3} = 2\frac{1}{2}\), выполним следующие шаги: 1. **Запишем \(2\frac{1}{2}\) в виде неправильной дроби:** \(2\frac{1}{2} = \frac{5}{2}\) 2. **Перепишем уравнение:** \(\frac{x-3}{x-2} + \frac{x-2}{x-3} = \frac{5}{2}\) 3. **Введем замену переменной:** Пусть \(t = \frac{x-3}{x-2}\), тогда \(\frac{1}{t} = \frac{x-2}{x-3}\). Уравнение примет вид: \(t + \frac{1}{t} = \frac{5}{2}\). 4. **Решим уравнение относительно \(t\):** Умножим обе части на \(2t\): \(2t^2 + 2 = 5t\) \(2t^2 - 5t + 2 = 0\) Найдем дискриминант: \(D = (-5)^2 - 4 * 2 * 2 = 25 - 16 = 9\) \(t_1 = \frac{5 + \sqrt{9}}{4} = \frac{5 + 3}{4} = \frac{8}{4} = 2\) \(t_2 = \frac{5 - \sqrt{9}}{4} = \frac{5 - 3}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}\) 5. **Вернемся к исходной переменной \(x\):** *Случай 1:* \(t = 2\) \(\frac{x-3}{x-2} = 2\) \(x - 3 = 2(x - 2)\) \(x - 3 = 2x - 4\) \(x = 1\) *Случай 2:* \(t = \frac{1}{2}\) \(\frac{x-3}{x-2} = \frac{1}{2}\) \(2(x - 3) = x - 2\) \(2x - 6 = x - 2\) \(x = 4\) 6. **Проверим ОДЗ: \(x
eq 2\) и \(x
eq 3\):** Оба корня \(x_1 = 1\) и \(x_2 = 4\) подходят. **Ответ:** \(x_1 = 1\), \(x_2 = 4\)