14.4. Катер за 4 ч по течению реки проплывает на 10 км меньше, чем за 6 ч против течения. Найдите собственную скорость катера, если плот по этой реке за 15 ч проплывает такое же расстояние, что и катер за 2 ч по озеру.

Решение: Пусть ( v ) - собственная скорость катера, ( u ) - скорость течения реки. Тогда скорость катера по течению равна ( v + u ), а против течения ( v - u ). 1. Катер за 4 часа по течению проплывает на 10 км меньше, чем за 6 часов против течения: \[4(v + u) + 10 = 6(v - u)\] 2. Плот за 15 часов проплывает такое же расстояние, что и катер за 2 часа по озеру. Скорость плота равна скорости течения реки ( u ). Катер по озеру плывет со своей собственной скоростью ( v ): \[15u = 2v\] Теперь у нас есть система уравнений: \[\begin{cases} 4(v + u) + 10 = 6(v - u) \\ 15u = 2v \end{cases}\] Упростим первое уравнение: \[4v + 4u + 10 = 6v - 6u \Rightarrow 2v - 10u = 10 \Rightarrow v - 5u = 5\] Выразим ( v ) из второго уравнения: ( v = \frac{15}{2}u ) и подставим в упрощенное первое уравнение: \[\frac{15}{2}u - 5u = 5 \Rightarrow \frac{15}{2}u - \frac{10}{2}u = 5 \Rightarrow \frac{5}{2}u = 5 \Rightarrow u = 2\] Теперь найдем ( v ): \[v = \frac{15}{2} * 2 = 15\] Ответ: Собственная скорость катера 15 км/ч.