597. Катеты прямоугольного треугольника равны *a* и *b*. Выразите через *a* и *b* гипотенузу и тангенсы острых углов треугольника и найдите их значения при *a* = 12, *b* = 15.

Пусть дан прямоугольный треугольник ABC, где угол C = 90°, катеты AC = *b*, BC = *a*. Тогда гипотенузу AB можно выразить по теореме Пифагора как: \[AB = \sqrt{a^2 + b^2}\] Тангенс угла BAC можно выразить как: \[\tan(\angle BAC) = \frac{a}{b}\] Тангенс угла ABC можно выразить как: \[\tan(\angle ABC) = \frac{b}{a}\] б) Найдем значения, если *a* = 12, *b* = 15: \[AB = \sqrt{12^2 + 15^2} = \sqrt{144 + 225} = \sqrt{369} \approx 19.21\] \[\tan(\angle BAC) = \frac{12}{15} = 0.8\] \[\tan(\angle ABC) = \frac{15}{12} = 1.25\] Ответ: a) \(AB = \sqrt{a^2 + b^2}\), \(\tan(\angle BAC) = \frac{a}{b}\), \(\tan(\angle ABC) = \frac{b}{a}\); б) \(AB \approx 19.21\), \(\tan(\angle BAC) = 0.8\), \(\tan(\angle ABC) = 1.25\).