(110) KM || AC, S₁ = 6, AK = 8, KB = 4. Найдите S2.

Решение:

1. Так как KM || AC, то треугольник KBM подобен треугольнику ABC.
2. Отношение сторон: KB:AB = 4:(4+8) = 4:12 = 1:3.
3. Коэффициент подобия k = \(\frac{1}{3}\).
4. Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия: \(\frac{S_{KBM}}{S_{ABC}} = k^2 = (\frac{1}{3})^2 = \frac{1}{9}\).
5. Известно, что S₁ = S_{KBM} = 6.
6. Площадь треугольника ABC: \(S_{ABC} = \frac{S_{KBM}}{k^2} = \frac{6}{\frac{1}{9}} = 6 \cdot 9 = 54\).
7. Площадь трапеции AKMC: \(S_{AKMC} = S_{ABC} - S_{KBM} = 54 - 6 = 48\).
8. Площади треугольников BKM и AKM имеют одинаковую высоту, опущенную из вершины M.
9. Площади треугольников BKM и CKM также имеют одинаковую высоту, опущенную из вершины K.
10. Площади треугольников AOK и COK равны.
11. По теореме о пропорциональных отрезках, BO:OK = KB:KA = 4:8 = 1:2.
12. Площади треугольников BOK и AOK также относятся как 1:2.
13. Площадь треугольника BOK: \(S_{BOK} = \frac{1}{2} \cdot S_{AKM}\).
14. Отношение BO:OC = KB:AK = 1:2, значит S₂ = 12.