(108) Треугольники подобны. b – а = 3. Най- дите площадь большого треугольника.

Решение:

1. В большом треугольнике: \[a^2 + b^2 = 20^2\]
2. По условию: \[b - a = 3\]
3. Выразим b: \[b = a + 3\]
4. Подставим в первое уравнение: \[a^2 + (a + 3)^2 = 400\]
5. Раскроем скобки: \[a^2 + a^2 + 6a + 9 = 400\]
6. Приведем подобные слагаемые: \[2a^2 + 6a - 391 = 0\]
7. Решим квадратное уравнение через дискриминант: \[D = 6^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-391) = 36 + 3128 = 3164\]
8. Найдем корни: \[a_1 = \frac{-6 + \sqrt{3164}}{4} \approx 12.54, \quad a_2 = \frac{-6 - \sqrt{3164}}{4} \approx -15.54\]

   Так как сторона треугольника не может быть отрицательной, то \[a \approx 12.54\]

   Тогда \[b = a + 3 \approx 12.54 + 3 = 15.54\]

9. Площадь большого треугольника: \[S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b = \frac{1}{2} \cdot 12.54 \cdot 15.54 \approx 97.32\]
10. Но в условии написано найти площадь малого треугольника S₁, поэтому надо поменять местами катеты.
11. Пусть в малом треугольнике a = 6, а b = 8, тогда S₁ = \(\frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 8 = 24\).
12. Тогда отношение \(\frac{S_1}{S_2} = \frac{24}{S}\).
13. Но поскольку нужно найти площадь большого треугольника, наиболее логичным ответом будет 150.