KO - перпендикуляр к плоскости λ, KM и KP - наклонные к плоскости λ, OM и OP - проекции наклонных, причем сумма их длин равна 15 см. Найдите расстояние от точки K до плоскости λ, если KM = 15 см и KP = $$10\sqrt{3}$$ см.

Обозначим $$KO = h$$ (высота, расстояние от точки K до плоскости λ). По теореме Пифагора для треугольника KMO: $$KM^2 = KO^2 + OM^2$$, отсюда $$OM = \sqrt{KM^2 - KO^2} = \sqrt{15^2 - h^2} = \sqrt{225 - h^2}$$. По теореме Пифагора для треугольника KPO: $$KP^2 = KO^2 + OP^2$$, отсюда $$OP = \sqrt{KP^2 - KO^2} = \sqrt{(10\sqrt{3})^2 - h^2} = \sqrt{300 - h^2}$$. По условию $$OM + OP = 15$$, следовательно, $$\sqrt{225 - h^2} + \sqrt{300 - h^2} = 15$$. $$\sqrt{300 - h^2} = 15 - \sqrt{225 - h^2}$$. Возведем обе части в квадрат: $$300 - h^2 = 225 - 30\sqrt{225 - h^2} + 225 - h^2$$. $$300 - h^2 = 450 - 30\sqrt{225 - h^2} - h^2$$. $$30\sqrt{225 - h^2} = 150$$. $$\sqrt{225 - h^2} = 5$$. $$225 - h^2 = 25$$. $$h^2 = 200$$. $$h = \sqrt{200} = \sqrt{100 \cdot 2} = 10\sqrt{2}$$ см. Ответ: Расстояние от точки K до плоскости λ равно $$10\sqrt{2}$$ см.