16. Коля и Ира не умеют сокращать дроби. Они делают это неправильно. Коля думает, что нужно от числителя отнять 2, а от знаменателя отнять 1. Коля делает так: \(\frac{4}{2} = \frac{4-2}{2-1} = \frac{2}{1}\) Ира считает, что нужно от числителя отнять 4, а от знаменателя отнять 3. Ира делает так: \(\frac{8}{6} = \frac{8-4}{6-3} = \frac{4}{3}\) Коля и Ира (не обязательно по очереди) двадцать раз «сократили» дробь \(\frac{2018}{2019}\) по своим правилам и получили дробь с числителем 1966. Найдите знаменатель получившейся дроби. Запишите решение и ответ.

Пусть Коля сокращал дробь x раз, а Ира - y раз. Тогда: \[x + y = 20\] После сокращений числитель стал 1966. Коля отнимает 2, а Ира - 4. Значит: \[2018 - 2x - 4y = 1966\] \[2x + 4y = 2018 - 1966\] \[2x + 4y = 52\] \[x + 2y = 26\] Теперь у нас есть система уравнений: \[\begin{cases} x + y = 20 \\ x + 2y = 26 \end{cases}\] Вычтем первое уравнение из второго: \[(x + 2y) - (x + y) = 26 - 20\] \[y = 6\] Теперь найдем x: \[x + 6 = 20\] \[x = 14\] Коля сокращал дробь 14 раз, а Ира - 6 раз. Теперь найдем, каким стал знаменатель. Коля отнимает 1, а Ира - 3. Значит, знаменатель изменится так: \[2019 - 14 \cdot 1 - 6 \cdot 3 = 2019 - 14 - 18 = 1987\]

Ответ: 1987

Проверка за 10 секунд: Убедись, что правильно посчитал, сколько раз каждый из ребят применял свой метод.

Доп. профит: Читерский прием! Попробуй решить эту задачу другим способом, чтобы убедиться в правильности ответа.