Контрольная работа № 6 Вариант 1. 1. Решите уравнение: а) \(\frac{x^2}{x^2-9}=\frac{12-x}{x^2-9}\); б) \(\frac{6}{x-2}+\frac{5}{x}=\frac{x+2}{x-1}\); в) \(\frac{x}{x+1}=\frac{6}{x^2-1}\).

Решение уравнения:

1. а) \(\frac{x^2}{x^2-9}=\frac{12-x}{x^2-9}\)

   ОДЗ: \(x
   e \pm 3\)

   Уравнение можно переписать как:

   \(x^2 = 12 - x\)

   \(x^2 + x - 12 = 0\)

   Решим квадратное уравнение:

   \(D = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-12) = 1 + 48 = 49\)

   \(x_1 = \frac{-1 + \sqrt{49}}{2} = \frac{-1 + 7}{2} = \frac{6}{2} = 3\)

   \(x_2 = \frac{-1 - \sqrt{49}}{2} = \frac{-1 - 7}{2} = \frac{-8}{2} = -4\)

   Так как \(x
   e \pm 3\), то \(x_1 = 3\) не является решением.

   Таким образом, остается только \(x_2 = -4\)

   Ответ: \(x = -4\)

2. б) \(\frac{6}{x-2}+\frac{5}{x}=\frac{x+2}{x-1}\)

   ОДЗ: \(x
   e 2, x
   e 0, x
   e 1\)

   Умножим обе части уравнения на \(x(x-2)(x-1)\):

   \(6x(x-1) + 5(x-2)(x-1) = (x+2)x(x-2)\)

   \(6x^2 - 6x + 5(x^2 - 3x + 2) = x(x^2 - 4)\)

   \(6x^2 - 6x + 5x^2 - 15x + 10 = x^3 - 4x\)

   \(11x^2 - 21x + 10 = x^3 - 4x\)

   \(x^3 - 11x^2 + 17x - 10 = 0\)

   Подбором находим корень \(x = 10\):

   \(10^3 - 11 \cdot 10^2 + 17 \cdot 10 - 10 = 1000 - 1100 + 170 - 10 = 1170 - 1110 = 60\)

   Разделим \(x^3 - 11x^2 + 17x - 10\) на \((x - 10)\):

   \((x^3 - 11x^2 + 17x - 10) \div (x - 10) = x^2 - x + 1\)

   Теперь решим уравнение \(x^2 - x + 1 = 0\)

   \(D = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1 = 1 - 4 = -3\)

   Так как дискриминант меньше нуля, уравнение не имеет действительных корней.

   Таким образом, остается только \(x = 10\)

   Ответ: \(x = 10\)

3. в) \(\frac{x}{x+1}=\frac{6}{x^2-1}\)

   ОДЗ: \(x
   e -1, x
   e 1\)

   Уравнение можно переписать как:

   \(\frac{x}{x+1}=\frac{6}{(x-1)(x+1)}\)

   Умножим обе части на \((x+1)(x-1)\)

   \(x(x-1) = 6\)

   \(x^2 - x = 6\)

   \(x^2 - x - 6 = 0\)

   Решим квадратное уравнение:

   \(D = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-6) = 1 + 24 = 25\)

   \(x_1 = \frac{1 + \sqrt{25}}{2} = \frac{1 + 5}{2} = \frac{6}{2} = 3\)

   \(x_2 = \frac{1 - \sqrt{25}}{2} = \frac{1 - 5}{2} = \frac{-4}{2} = -2\)

   Ответ: \(x = 3, x = -2\)