Контрольная работа № 6 Вариант 2. 1. Решите уравнение: а) \(\frac{3x+4}{x^2-16}=\frac{x}{x^2-16}\); б) \(\frac{3}{x-5}+\frac{8}{x}=\frac{x-1}{x+2}\); в) \(\frac{x}{x+2}=\frac{8}{x^2-4}\).

Решение уравнения:

1. а) \(\frac{3x+4}{x^2-16}=\frac{x}{x^2-16}\)

   ОДЗ: \(x
   e \pm 4\)

   Уравнение можно переписать как:

   \(3x + 4 = x\)

   \(2x = -4\)

   \(x = -2\)

   Ответ: \(x = -2\)

2. б) \(\frac{3}{x-5}+\frac{8}{x}=\frac{x-1}{x+2}\)

   ОДЗ: \(x
   e 5, x
   e 0, x
   e -2\)

   Умножим обе части уравнения на \(x(x-5)(x+2)\):

   \(3x(x+2) + 8(x-5)(x+2) = (x-1)x(x-5)\)

   \(3x^2 + 6x + 8(x^2 - 3x - 10) = x(x^2 - 6x + 5)\)

   \(3x^2 + 6x + 8x^2 - 24x - 80 = x^3 - 6x^2 + 5x\)

   \(11x^2 - 18x - 80 = x^3 - 6x^2 + 5x\)

   \(x^3 - 17x^2 + 23x + 80 = 0\)

   Здесь не получается подобрать рациональные корни, так что точный ответ можно получить только численными методами.

3. в) \(\frac{x}{x+2}=\frac{8}{x^2-4}\)

   ОДЗ: \(x
   e -2, x
   e 2\)

   Уравнение можно переписать как:

   \(\frac{x}{x+2}=\frac{8}{(x-2)(x+2)}\)

   Умножим обе части на \((x+2)(x-2)\)

   \(x(x-2) = 8\)

   \(x^2 - 2x = 8\)

   \(x^2 - 2x - 8 = 0\)

   Решим квадратное уравнение:

   \(D = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-8) = 4 + 32 = 36\)

   \(x_1 = \frac{2 + \sqrt{36}}{2} = \frac{2 + 6}{2} = \frac{8}{2} = 4\)

   \(x_2 = \frac{2 - \sqrt{36}}{2} = \frac{2 - 6}{2} = \frac{-4}{2} = -2\)

   Так как \(x
   e -2\), то \(x_2 = -2\) не является решением.

   Ответ: \(x = 4\)