Контрольная работа 1 «Четырёхугольники», вариант 1. 2. По данным рис. 161 докажите, что ABCD — параллелограмм.

По отметкам на рисунке: \(BE=FD\), \(BC=AF\), а углы \(BEF\) и \(EFA\) равны.

Так как равны накрест лежащие углы при прямых \(BC\) и \(AF\), секущей \(EF\), то \(BC\parallel AF\). Следовательно, \(BC\parallel AD\), поскольку точки \(A,F,D\) лежат на одной прямой.

Из равенств \(BC=AF\) и \(BE=FD\) следует, что \(EC=FA+FD=FA+BE\). По рисунку точки расположены в порядке \(B,E,C\) и \(A,F,D\), поэтому для доказательства второй пары параллельных сторон используем треугольники \(BEF\) и \(DFE\): у них \(BE=FD\), сторона \(EF\) общая, а углы между ними равны (они образованы параллельными прямыми \(BC\) и \(AD\)). Значит, треугольники равны по двум сторонам и углу между ними, откуда \(BF=DE\) и соответствующие углы дают \(AB\parallel CD\) — но это требует равенства/параллельности, не показанных на рисунке. Внимательное чтение отметок: одной засечкой обозначены именно \(BE\) и \(FD\), двумя — \(AF\) и \(EC\); дугами отмечены углы \(BEF\) и \(EFA\).

Из \(AF=EC\) и \(BE=FD\) следует \(BC=BE+EC=FD+AF=AD\). Также из равенства углов \(BEF=EFA\) следует \(BC\parallel AD\). Четырёхугольник, у которого одна пара противоположных сторон равна и параллельна, является параллелограммом.

Ответ: \(ABCD\) — параллелограмм.