Контрольная работа 1 «Четырёхугольники», вариант 1. 5. Докажите, что параллелограмм, у которого высоты, проведённые из вершины тупого угла, равны, является ромбом.

Пусть из вершины тупого угла параллелограмма проведены высоты к двум противоположным сторонам, а их длины равны. Обозначим длины соседних сторон через \(a\) и \(b\), а угол между ними через \(\alpha\).

Высота к стороне длины \(a\) равна \(b\sin\alpha\), а высота к стороне длины \(b\) равна \(a\sin\alpha\).

По условию \(b\sin\alpha=a\sin\alpha\). Поскольку \(\sin\alpha\ne0\), получаем \(a=b\).

Параллелограмм с равными соседними сторонами является ромбом.

Что и требовалось доказать.