Контрольная работа № 1. «Четырёхугольники». Вариант 1. В параллелограмме KMNP проведена биссектриса угла K, которая пересекает сторону MN в точке E. а) Докажите, что треугольник KME равнобедренный. б) Найдите сторону KP, если ME = 10 см, а периметр параллелограмма равен 52 см.

а) Так как KE — биссектриса угла K, то ∠MKE = ∠EKP. Поскольку MN ∥ KP, угол между KE и KP равен углу между KE и EM: ∠KEM = ∠EKP. Следовательно, ∠MKE = ∠KEM. В треугольнике KME против равных углов лежат равные стороны: KM = ME. Значит, треугольник KME равнобедренный.

б) Из пункта а) KM = ME = 10 см. Периметр параллелограмма равен 2(KM + KP), поэтому 2(10 + KP) = 52. Тогда KM + KP = 26 и KP = 26 − 10 = 16 см.

Ответ: KP = 16 см.