Контрольная работа № 1. Г-5. Вариант 2. № 5. Высота BM, проведённая из вершины угла ромба ABCD, образует со стороной AB угол 30°. Длина диагонали AC равна 6 см. Найдите AM, если точка M лежит на продолжении стороны AD.

Так как BM — высота к прямой AD, то BM ⟂ AD. Угол между AB и BM равен 30°, поэтому угол между AB и AD равен 60° (с учётом того, что M лежит на продолжении AD).

В ромбе диагональ AC делит угол A пополам. Значит, ∠BAC = 30°. Прямоугольный треугольник ABC имеет гипотенузу BC, равную стороне ромба, и противолежащий углу 30° катет BC? Чтобы определить сторону, используем AC: в треугольнике ABC углы A и C равны 30°, а угол B равен 120°, поэтому AC² = AB² + BC² − 2·AB·BC·cos 120° = 3s², где s — сторона ромба. Следовательно, s = AC/√3 = 2√3 см.

В прямоугольном треугольнике ABM угол между AB и BM равен 30°, а AB = 2√3 см. Поэтому AM = AB·sin 30° = √3 см.

Ответ: AM = √3 см.