Концы диаметра АВ удалены от касательной НР на расстояния АН и ВР. Найдите длину АН, если АВ = 20, BP = 12.

1) Рассмотрим окружность с диаметром AB, AH и BP - перпендикуляры к касательной HP. Пусть O - центр окружности. Тогда AO = OB = AB/2 = 20/2 = 10.

2) Проведем OK - средняя линия в трапеции ABPH. OK параллельна AH и BP, и OK = (AH + BP) / 2.

3) Так как OK перпендикулярна касательной HP, OK является радиусом, проведенным в точку касания, следовательно OK = AO = 10.

4) Подставим значения в формулу средней линии:

10 = (AH + 12) / 2

20 = AH + 12

AH = 20 - 12 = 8

Ответ: 8