Корни уравнения х² − 16х + q = 0 относятся как 3 : 5. Найдите корни уравнения и свободный член q.

Пусть $$x_1$$ и $$x_2$$ - корни уравнения $$x^2 - 16x + q = 0$$, причём $$\frac{x_1}{x_2} = \frac{3}{5}$$. Это означает, что $$x_1 = 3k$$, $$x_2 = 5k$$, где k - некоторое число.

По теореме Виета:

$$x_1 + x_2 = 16$$

$$x_1 \cdot x_2 = q$$

Подставим выражения для $$x_1$$ и $$x_2$$:

$$3k + 5k = 16$$

$$8k = 16$$

$$k = 2$$

Тогда $$x_1 = 3 \cdot 2 = 6$$, $$x_2 = 5 \cdot 2 = 10$$.

Теперь найдем q:

$$q = x_1 \cdot x_2 = 6 \cdot 10 = 60$$

Ответ: корни уравнения: $$x_1 = 6$$, $$x_2 = 10$$, свободный член: $$q = 60$$