Решите уравнение х(х+1)(x + 3)(x + 4) = 40, используя метод замены переменной.

Решим уравнение методом замены переменной: $$x(x+1)(x+3)(x+4) = 40$$.

Перегруппируем множители:

$$(x(x+4))((x+1)(x+3)) = 40$$

$$(x^2+4x)(x^2+4x+3) = 40$$

Пусть $$t = x^2+4x$$, тогда уравнение примет вид:

$$t(t+3) = 40$$

$$t^2+3t-40 = 0$$

Дискриминант:

$$D = 3^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-40) = 9 + 160 = 169$$

$$t_1 = \frac{-3 + \sqrt{169}}{2 \cdot 1} = \frac{-3 + 13}{2} = \frac{10}{2} = 5$$

$$t_2 = \frac{-3 - \sqrt{169}}{2 \cdot 1} = \frac{-3 - 13}{2} = \frac{-16}{2} = -8$$

Вернемся к замене:

$$x^2 + 4x = 5$$

$$x^2 + 4x - 5 = 0$$

$$D = 4^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-5) = 16 + 20 = 36$$

$$x_1 = \frac{-4 + \sqrt{36}}{2 \cdot 1} = \frac{-4 + 6}{2} = \frac{2}{2} = 1$$

$$x_2 = \frac{-4 - \sqrt{36}}{2 \cdot 1} = \frac{-4 - 6}{2} = \frac{-10}{2} = -5$$

$$x^2 + 4x = -8$$

$$x^2 + 4x + 8 = 0$$

$$D = 4^2 - 4 \cdot 1 \cdot 8 = 16 - 32 = -16$$

Уравнение не имеет корней, так как дискриминант отрицательный.

Ответ: $$x_1 = 1$$, $$x_2 = -5$$