Левый столбец, 2. Из вершины тупого угла ромба проведён перпендикуляр к стороне. Этот перпендикуляр пересекает диагональ ромба под углом 60°. Найдите длину этой диагонали, если длина перпендикуляра равна 6 см.

Обозначим сторону ромба через a, а его тупой угол через α. Перпендикуляр к стороне и сторона образуют прямоугольный треугольник с гипотенузой a, поэтому длина перпендикуляра равна a·sin α.

Большая диагональ делит острый угол ромба пополам. Из геометрии ромба угол между этой диагональю и проведённым перпендикуляром равен половине тупого угла: α/2. Значит, α/2 = 60°, откуда α = 120°.

Тогда длина перпендикуляра равна a·sin 120° = a·√3/2. Большая диагональ равна 2a·cos 30° = a·√3. Следовательно, диагональ вдвое больше перпендикуляра: 2·6 = 12 см.

Ответ: 12 см.