421. Лежат ли точки А, В и С на одной прямой, если a) A (3; −7; 8), B (−5; 4; 1), C (27; −40; 29); б) А (−5; 7; 12), B (4; −8; 3), C (13; −23; −6); в) А (−4; 8; −2), B(−3; −1; 7), C (−2; −10; −16)?

Чтобы определить, лежат ли точки A, B и C на одной прямой, нужно проверить, коллинеарны ли векторы AB и AC.

а) A (3; -7; 8), B (-5; 4; 1), C (27; -40; 29)

Координаты вектора AB:

$$AB = \{-5 - 3; 4 - (-7); 1 - 8\} = \{-8; 11; -7\}$$

Координаты вектора AC:

$$AC = \{27 - 3; -40 - (-7); 29 - 8\} = \{24; -33; 21\}$$

Проверим, пропорциональны ли координаты векторов AB и AC:

$$\frac{24}{-8} = -3$$

$$\frac{-33}{11} = -3$$

$$\frac{21}{-7} = -3$$

Так как координаты векторов AB и AC пропорциональны, то векторы коллинеарны, и точки A, B и C лежат на одной прямой.

б) A (-5; 7; 12), B (4; -8; 3), C (13; -23; -6)

Координаты вектора AB:

$$AB = \{4 - (-5); -8 - 7; 3 - 12\} = \{9; -15; -9\}$$

Координаты вектора AC:

$$AC = \{13 - (-5); -23 - 7; -6 - 12\} = \{18; -30; -18\}$$

Проверим, пропорциональны ли координаты векторов AB и AC:

$$\frac{18}{9} = 2$$

$$\frac{-30}{-15} = 2$$

$$\frac{-18}{-9} = 2$$

Так как координаты векторов AB и AC пропорциональны, то векторы коллинеарны, и точки A, B и C лежат на одной прямой.

в) A (-4; 8; -2), B (-3; -1; 7), C (-2; -10; -16)

Координаты вектора AB:

$$AB = \{-3 - (-4); -1 - 8; 7 - (-2)\} = \{1; -9; 9\}$$

Координаты вектора AC:

$$AC = \{-2 - (-4); -10 - 8; -16 - (-2)\} = \{2; -18; -14\}$$

Проверим, пропорциональны ли координаты векторов AB и AC:

$$\frac{2}{1} = 2$$

$$\frac{-18}{-9} = 2$$

$$\frac{-14}{9} = -1,556$$

Так как координаты векторов AB и AC непропорциональны, то векторы неколлинеарны, и точки A, B и C не лежат на одной прямой.

Ответ: a) лежат; б) лежат; в) не лежат.