419. Вершины треугольника ABC имеют координаты: А (1; 6; 2), В (2; 3; −1), C (−3; 4; 5). Разложите векторы AB, BC и CA по координатным векторам i, j и k.

Чтобы разложить векторы AB, BC и CA по координатным векторам i, j и k, сначала найдем координаты этих векторов.

Вектор AB:

$$AB = \{2 - 1; 3 - 6; -1 - 2\} = \{1; -3; -3\}$$

Вектор BC:

$$BC = \{-3 - 2; 4 - 3; 5 - (-1)\} = \{-5; 1; 6\}$$

Вектор CA:

$$CA = \{1 - (-3); 6 - 4; 2 - 5\} = \{4; 2; -3\}$$

Теперь разложим векторы по координатным векторам i, j и k:

$$AB = 1 \cdot i - 3 \cdot j - 3 \cdot k$$

$$BC = -5 \cdot i + 1 \cdot j + 6 \cdot k$$

$$CA = 4 \cdot i + 2 \cdot j - 3 \cdot k$$

Ответ: AB = i - 3j - 3k; BC = -5i + j + 6k; CA = 4i + 2j - 3k.