2. LF - диаметр шара, объем которого равен 108√3п см³, ∠LFP = 30°. Найдите длину хорды LP. а) 3 см; б) 6 см; в) 3√3 см; г) 6√3 см.

Решение: Объем шара равен $$108\sqrt{3}\pi$$ см³. Объем шара вычисляется по формуле $$V = \frac{4}{3} \pi R^3$$. Выразим радиус шара: $$\frac{4}{3} \pi R^3 = 108\sqrt{3}\pi$$ $$R^3 = \frac{3 * 108 \sqrt{3}}{4} = 3 * 27 \sqrt{3} = 81\sqrt{3}$$ $$R = \sqrt[3]{81\sqrt{3}} = \sqrt[3]{27 * 3 * \sqrt{3}} = 3\sqrt{3}$$ см. Так как LF - диаметр шара, то $$LF = 2R = 6\sqrt{3}$$ см. Угол LFP равен 30 градусам. В прямоугольном треугольнике LFP катет LP лежит против угла 30 градусов, значит, он равен половине гипотенузы LF. $$LP = \frac{1}{2}LF = \frac{1}{2} * 6\sqrt{3} = 3\sqrt{3}$$ см. Ответ: в) 3√3 см