3. В конус, осевое сечение которого — равносторонний треугольник, вписан шар. Найдите радиус шара, если об- разующая конуса равна 2√3 см. а) 1 см; б) 2 см; в) √3 см; г) 2√3 см.

Решение: Так как осевое сечение конуса - равносторонний треугольник, то радиус основания конуса равен образующей, то есть $$R = 2\sqrt{3}$$. Высота конуса равна $$h = R\sqrt{3} = 2\sqrt{3} * \sqrt{3} = 6$$. Радиус вписанного шара равен $$r = \frac{Rh}{R + \sqrt{R^2 + h^2}} = \frac{2\sqrt{3} * 6}{2\sqrt{3} + \sqrt{(2\sqrt{3})^2 + 6^2}} = \frac{12\sqrt{3}}{2\sqrt{3} + \sqrt{12 + 36}} = \frac{12\sqrt{3}}{2\sqrt{3} + \sqrt{48}} = \frac{12\sqrt{3}}{2\sqrt{3} + 4\sqrt{3}} = \frac{12\sqrt{3}}{6\sqrt{3}} = 2$$. Ответ: б) 2 см