5) lim (1+3)^-x. x→∞ x

Краткое пояснение: Чтобы найти предел, нужно преобразовать выражение к виду, содержащему число e.

Вспомним второй замечательный предел:

lim (x→∞) (1 + 1/x)^x = e

Преобразуем наше выражение:

lim (x→∞) (1 + 3/x)^(-x) = lim (x→∞) [(1 + 3/x)^(x/3)]^(-3) = [lim (x→∞) (1 + 3/x)^(x/3)]^(-3)

Заметим, что если x стремится к бесконечности, то и x/3 стремится к бесконечности. Поэтому:

[lim (x→∞) (1 + 3/x)^(x/3)]^(-3) = e^(-3)

Ответ: e^(-3)