17. 1) lim x 6 x²-9 1 x-3 ; 2) lim x→-1 3 x3+1 1 x+1 )

Решение 17.1

Найдём предел функции:
\[\lim_{x \to 3} \left(\frac{6}{x^2 - 9} - \frac{1}{x - 3}\right)\]

Приведём дроби к общему знаменателю:
\[\lim_{x \to 3} \left(\frac{6}{(x - 3)(x + 3)} - \frac{1}{x - 3}\right) = \lim_{x \to 3} \frac{6 - (x + 3)}{(x - 3)(x + 3)} = \lim_{x \to 3} \frac{3 - x}{(x - 3)(x + 3)}\]

Упростим выражение:
\[\lim_{x \to 3} \frac{-(x - 3)}{(x - 3)(x + 3)} = \lim_{x \to 3} \frac{-1}{x + 3}\]

Подставим значение x = 3:
\[\frac{-1}{3 + 3} = \frac{-1}{6}\]

Ответ: \(-\frac{1}{6}\)

Проверка за 10 секунд: Общий знаменатель, сокращение, подстановка.

Доп. профит: База - приведение к общему знаменателю - ключ к решению многих пределов.

Решение 17.2

Найдём предел функции:
\[\lim_{x \to -1} \left(\frac{3}{x^3 + 1} - \frac{1}{x + 1}\right)\]

Разложим знаменатель первой дроби:
\[\lim_{x \to -1} \left(\frac{3}{(x + 1)(x^2 - x + 1)} - \frac{1}{x + 1}\right)\]

Приведём дроби к общему знаменателю:
\[\lim_{x \to -1} \frac{3 - (x^2 - x + 1)}{(x + 1)(x^2 - x + 1)} = \lim_{x \to -1} \frac{2 + x - x^2}{(x + 1)(x^2 - x + 1)}\]

Представим числитель в виде \(-(x + 1)(x - 2)\):
\[\lim_{x \to -1} \frac{-(x + 1)(x - 2)}{(x + 1)(x^2 - x + 1)}\]

Сократим (x + 1):
\[\lim_{x \to -1} \frac{-(x - 2)}{x^2 - x + 1}\]

Подставим значение x = -1:
\[\frac{-(-1 - 2)}{(-1)^2 - (-1) + 1} = \frac{3}{1 + 1 + 1} = \frac{3}{3} = 1\]

Ответ: 1

Проверка за 10 секунд: Разложение, общий знаменатель, сокращение, подстановка.

Доп. профит: Редфлаг - сложные пределы требуют уверенного владения разложением на множители.