16. 1) lim x→9 3-√x 4-√2x-2 ; 2) lim x→1 ³√x-1 √x−1

Решение 16.1

Найдём предел функции:
\[\lim_{x \to 9} \frac{3 - \sqrt{x}}{4 - \sqrt{2x - 2}}\]

Подставим значение x = 9 в функцию:
\[\frac{3 - \sqrt{9}}{4 - \sqrt{2 \cdot 9 - 2}} = \frac{3 - 3}{4 - \sqrt{16}} = \frac{0}{4 - 4} = \frac{0}{0}\]

Получили неопределенность вида \(\frac{0}{0}\). Умножим числитель и знаменатель на сопряженные выражения:
\[\lim_{x \to 9} \frac{3 - \sqrt{x}}{4 - \sqrt{2x - 2}} = \lim_{x \to 9} \frac{(3 - \sqrt{x})(3 + \sqrt{x})(4 + \sqrt{2x - 2})}{(4 - \sqrt{2x - 2})(4 + \sqrt{2x - 2})(3 + \sqrt{x})}\]

Упростим выражение:
\[\lim_{x \to 9} \frac{(9 - x)(4 + \sqrt{2x - 2})}{(16 - (2x - 2))(3 + \sqrt{x})} = \lim_{x \to 9} \frac{(9 - x)(4 + \sqrt{2x - 2})}{(18 - 2x)(3 + \sqrt{x})}\]

Вынесем 2 из знаменателя:
\[\lim_{x \to 9} \frac{(9 - x)(4 + \sqrt{2x - 2})}{2(9 - x)(3 + \sqrt{x})}\]

Сократим (9 - x):
\[\lim_{x \to 9} \frac{4 + \sqrt{2x - 2}}{2(3 + \sqrt{x})}\]

Подставим значение x = 9:
\[\frac{4 + \sqrt{2 \cdot 9 - 2}}{2(3 + \sqrt{9})} = \frac{4 + \sqrt{16}}{2(3 + 3)} = \frac{4 + 4}{2 \cdot 6} = \frac{8}{12} = \frac{2}{3}\]

Ответ: \(\frac{2}{3}\)

Проверка за 10 секунд: Подставили, упростили, избавились от неопределённости.

Доп. профит: Читерский прием - используйте правило Лопиталя, чтобы быстро решать пределы.

Решение 16.2

Найдём предел функции:
\[\lim_{x \to 1} \frac{\sqrt[3]{x} - 1}{\sqrt{x} - 1}\]

Сделаем замену переменных: пусть \(x = t^6\). Тогда \(x \to 1\) означает, что \(t \to 1\).

Тогда:
\[\lim_{t \to 1} \frac{\sqrt[3]{t^6} - 1}{\sqrt{t^6} - 1} = \lim_{t \to 1} \frac{t^2 - 1}{t^3 - 1}\]

Разложим числитель и знаменатель:
\[\lim_{t \to 1} \frac{(t - 1)(t + 1)}{(t - 1)(t^2 + t + 1)}\]

Сократим (t - 1):
\[\lim_{t \to 1} \frac{t + 1}{t^2 + t + 1}\]

Подставим значение t = 1:
\[\frac{1 + 1}{1^2 + 1 + 1} = \frac{2}{3}\]

Ответ: \(\frac{2}{3}\)

Проверка за 10 секунд: Замена переменной упростила выражение, нашли предел.

Доп. профит: Уровень Эксперт - Понимание замены переменных и разложения на множители помогает в решении сложных пределов.