4. log₁ (x²-5x-6) = -3 ₂

Решим уравнение:

$$log_{\frac{1}{2}}(x^2 - 5x - 6) = -3$$

Преобразуем основание логарифма:

$$log_{2^{-1}}(x^2 - 5x - 6) = -3$$

Используем свойство логарифмов: $$log_{a^b}(c) = \frac{1}{b}log_a(c)$$

$$-log_{2}(x^2 - 5x - 6) = -3$$

$$log_{2}(x^2 - 5x - 6) = 3$$

Определение логарифма: $$x^2 - 5x - 6 = 2^3$$

$$x^2 - 5x - 6 = 8$$

$$x^2 - 5x - 14 = 0$$

Решим квадратное уравнение:

$$D = (-5)^2 - 4(1)(-14) = 25 + 56 = 81$$

$$x_1 = \frac{5 + \sqrt{81}}{2} = \frac{5 + 9}{2} = 7$$

$$x_2 = \frac{5 - \sqrt{81}}{2} = \frac{5 - 9}{2} = -2$$

Проверим область определения исходного уравнения:

$$x^2 - 5x - 6 > 0$$

Разложим на множители: $$(x-7)(x+2) > 0$$

Решим неравенство методом интервалов: x < -2 или x > 7

Проверим найденные значения:

$$x = 7$$ не подходит

$$x = -2$$ не подходит

Оба корня не подходят.

Ответ: корней нет