12*) logₓ₋₂(x - 1) ≤ logₓ₋₂(5-x)

Решим логарифмическое неравенство: $$log_{x-2}(x - 1) \le log_{x-2}(5-x)$$.

Рассмотрим два случая:

1) Основание логарифма x - 2 > 1, то есть x > 3. Тогда знак неравенства не меняется:

$$x - 1 \le 5 - x$$

$$2x \le 6$$

$$x \le 3$$

В этом случае решений нет, так как x > 3 и x \le 3 не могут выполняться одновременно.

2) Основание логарифма 0 < x - 2 < 1, то есть 2 < x < 3. Тогда знак неравенства меняется:

$$x - 1 \ge 5 - x$$

$$2x \ge 6$$

$$x \ge 3$$

В этом случае решений нет, так как 2 < x < 3 и x \ge 3 не могут выполняться одновременно.

Найдем ОДЗ логарифмов:

$$x - 2 > 0 \Rightarrow x > 2$$

$$x - 2
e 1 \Rightarrow x
e 3$$

$$x - 1 > 0 \Rightarrow x > 1$$

$$5 - x > 0 \Rightarrow x < 5$$

Объединяя все условия, получаем 2 < x < 3 или 3 < x < 5.

Рассмотрим случай, когда $$x - 1 = 5 - x \Rightarrow 2x = 6 \Rightarrow x = 3$$. Но x не может быть равен 3.

Решений нет.

Ответ: Нет решений