5. log√7 12 – log4 81 log49 4

$$ \frac{log_{\sqrt{7}} 12}{log_{49} 4} - log_4 81 $$

Преобразуем первое слагаемое:

$$log_{\sqrt{7}} 12 = \frac{log_2 12}{log_2 \sqrt{7}} = \frac{log_2 (4 \cdot 3)}{\frac{1}{2}log_2 7} = \frac{log_2 4 + log_2 3}{\frac{1}{2}log_2 7} = \frac{2 + log_2 3}{\frac{1}{2}log_2 7}$$.

$$log_{49} 4 = \frac{log_2 4}{log_2 49} = \frac{2}{log_2 7^2} = \frac{2}{2log_2 7} = \frac{1}{log_2 7}$$.

Следовательно:

$$\frac{log_{\sqrt{7}} 12}{log_{49} 4} = \frac{\frac{2 + log_2 3}{\frac{1}{2}log_2 7}}{\frac{1}{log_2 7}} = \frac{(2 + log_2 3) \cdot log_2 7}{\frac{1}{2} log_2 7} = 2(2 + log_2 3) = 4 + 2log_2 3 = 4 + log_2 3^2 = 4 + log_2 9 $$.

Преобразуем второе слагаемое:

$$log_4 81 = log_4 3^4 = 4log_4 3 = 4 \cdot \frac{log_2 3}{log_2 4} = 4 \cdot \frac{log_2 3}{2} = 2log_2 3 = log_2 3^2 = log_2 9 $$.

В итоге получим:

$$4 + log_2 9 - log_2 9 = 4 $$.

Ответ: 4