3. log√3 12 ⋅ log2√3 1/9

Решим пример:

$$log_{\sqrt{3}} 12 \cdot log_{2\sqrt{3}} \frac{1}{9}$$

Преобразуем выражение, используя свойства логарифмов:

$$log_{\sqrt{3}} 12 = \frac{log_2 12}{log_2 \sqrt{3}} = \frac{log_2 (4 \cdot 3)}{\frac{1}{2}log_2 3} = \frac{log_2 4 + log_2 3}{\frac{1}{2}log_2 3} = \frac{2 + log_2 3}{\frac{1}{2}log_2 3}$$.

$$log_{2\sqrt{3}} \frac{1}{9} = \frac{log_2 \frac{1}{9}}{log_2 2\sqrt{3}} = \frac{log_2 1 - log_2 9}{log_2 2 + log_2 \sqrt{3}} = \frac{0 - log_2 3^2}{1 + \frac{1}{2}log_2 3} = \frac{-2log_2 3}{1 + \frac{1}{2}log_2 3}$$.

Перемножим полученные выражения:

$$\frac{2 + log_2 3}{\frac{1}{2}log_2 3} \cdot \frac{-2log_2 3}{1 + \frac{1}{2}log_2 3} = \frac{2(2 + log_2 3)}{log_2 3} \cdot \frac{-2log_2 3}{2 + log_2 3} = -4$$.

Ответ: -4