log₅ (1-2x)/(x+3) = 1

Решение:

Данное уравнение является логарифмическим.

1. Перепишем уравнение в экспоненциальной форме: \( \frac{1 - 2x}{x + 3} = 5^1 \).
2. Упростим правую часть: \( 5^1 = 5 \).
3. Получим рациональное уравнение: \( \frac{1 - 2x}{x + 3} = 5 \).
4. Умножим обе части на \( x+3 \), учитывая, что \( x \neq -3 \): \( 1 - 2x = 5(x + 3) \).
5. Раскроем скобки: \( 1 - 2x = 5x + 15 \).
6. Перенесём все члены с \( x \) в правую часть, а числа — в левую: \( 1 - 15 = 5x + 2x \) \( \Rightarrow \) \( -14 = 7x \).
7. Найдём \( x \): \( x = \frac{-14}{7} = -2 \).
8. Проверим ОДЗ (область допустимых значений). Под логарифмом должно быть положительное число, и знаменатель не должен быть равен нулю.
9. Знаменатель: \( x+3 = -2+3 = 1 \) \( \neq 0 \).
10. Выражение под логарифмом: \( \frac{1 - 2x}{x + 3} = \frac{1 - 2(-2)}{-2 + 3} = \frac{1 + 4}{1} = 5 > 0 \).
11. Корень \( x = -2 \) подходит.

Ответ: x = -2.