log₁/6 (16-20x)/(3x+4) = -2

Решение:

Данное уравнение является логарифмическим.

1. Перепишем уравнение в экспоненциальной форме: \( \frac{16 - 20x}{3x + 4} = \left(\frac{1}{6}\right)^{-2} \).
2. Упростим правую часть: \( \left(\frac{1}{6}\right)^{-2} = 6^2 = 36 \).
3. Получим рациональное уравнение: \( \frac{16 - 20x}{3x + 4} = 36 \).
4. Умножим обе части на \( 3x+4 \), учитывая, что \( 3x+4 \) \( \neq 0 \) (то есть \( x \neq -\frac{4}{3} \)): \( 16 - 20x = 36(3x + 4) \).
5. Раскроем скобки: \( 16 - 20x = 108x + 144 \).
6. Перенесём все члены с \( x \) в правую часть, а числа — в левую: \( 16 - 144 = 108x + 20x \) \( \Rightarrow \) \( -128 = 128x \).
7. Найдём \( x \): \( x = \frac{-128}{128} = -1 \).
8. Проверим ОДЗ (область допустимых значений). Под логарифмом должно быть положительное число, и знаменатель не должен быть равен нулю.
9. Знаменатель: \( 3x+4 = 3(-1)+4 = -3+4 = 1 \) \( \neq 0 \).
10. Выражение под логарифмом: \( \frac{16 - 20x}{3x + 4} = \frac{16 - 20(-1)}{3(-1) + 4} = \frac{16 + 20}{-3 + 4} = \frac{36}{1} = 36 > 0 \).
11. Корень \( x = -1 \) подходит.

Ответ: x = -1.