log₄ (x+2)/(2x-7) = -1

Решение:

Данное уравнение является логарифмическим.

1. Перепишем уравнение в экспоненциальной форме: \( \frac{x + 2}{2x - 7} = 4^{-1} \).
2. Упростим правую часть: \( 4^{-1} = \frac{1}{4} \).
3. Получим рациональное уравнение: \( \frac{x + 2}{2x - 7} = \frac{1}{4} \).
4. Перемножим крест-накрест, учитывая, что \( 2x-7 \) \( \neq 0 \) (то есть \( x \neq \frac{7}{2} \)): \( 4(x + 2) = 1(2x - 7) \).
5. Раскроем скобки: \( 4x + 8 = 2x - 7 \).
6. Перенесём все члены с \( x \) в левую часть, а числа — в правую: \( 4x - 2x = -7 - 8 \) \( \Rightarrow \) \( 2x = -15 \).
7. Найдём \( x \): \( x = \frac{-15}{2} = -7.5 \).
8. Проверим ОДЗ (область допустимых значений). Под логарифмом должно быть положительное число, и знаменатель не должен быть равен нулю.
9. Знаменатель: \( 2x-7 = 2(-\frac{15}{2}) - 7 = -15 - 7 = -22 \) \( \neq 0 \).
10. Выражение под логарифмом: \( \frac{x + 2}{2x - 7} = \frac{-\frac{15}{2} + 2}{2(-\frac{15}{2}) - 7} = \frac{-\frac{15}{2} + \frac{4}{2}}{-15 - 7} = \frac{-\frac{11}{2}}{-22} = \frac{-\frac{11}{2}}{-\frac{44}{2}} = \frac{11}{44} = \frac{1}{4} > 0 \).
11. Корень \( x = -7.5 \) подходит.

Ответ: x = -7.5.