log₂ (x²-4x+4) = 4

Решение:

Данное уравнение является логарифмическим.

1. Перепишем уравнение в экспоненциальной форме: \( x^2 - 4x + 4 = 2^4 \).
2. Упростим правую часть: \( 2^4 = 16 \).
3. Получим квадратное уравнение: \( x^2 - 4x + 4 = 16 \).
4. Перенесём всё в левую часть: \( x^2 - 4x + 4 - 16 = 0 \) \( \Rightarrow \) \( x^2 - 4x - 12 = 0 \).
5. Решим полученное квадратное уравнение. Найдём дискриминант: \( D = b^2 - 4ac = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-12) = 16 + 48 = 64 \).
6. Так как \( D > 0 \), уравнение имеет два корня: \( x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{4 + 8}{2} = \frac{12}{2} = 6 \) и \( x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{4 - 8}{2} = \frac{-4}{2} = -2 \).
7. Проверим ОДЗ (область допустимых значений). Под логарифмом должно быть положительное число.
8. Для \( x=6 \): \( x^2 - 4x + 4 = 6^2 - 4 \cdot 6 + 4 = 36 - 24 + 4 = 16 > 0 \).
9. Для \( x=-2 \): \( x^2 - 4x + 4 = (-2)^2 - 4 \cdot (-2) + 4 = 4 + 8 + 4 = 16 > 0 \).
10. Оба корня подходят.

Ответ: x₁ = 6, x₂ = -2.