log½ (x²-5x+6)=-1

Решение:

Данное уравнение является логарифмическим.

1. Перепишем уравнение в экспоненциальной форме: \( x^2 - 5x + 6 = \left(\frac{1}{2}\right)^{-1} \).
2. Упростим правую часть: \( \left(\frac{1}{2}\right)^{-1} = 2 \).
3. Получим квадратное уравнение: \( x^2 - 5x + 6 = 2 \).
4. Перенесём всё в левую часть: \( x^2 - 5x + 6 - 2 = 0 \) \( \Rightarrow \) \( x^2 - 5x + 4 = 0 \).
5. Решим полученное квадратное уравнение. Найдём дискриминант: \( D = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4 = 25 - 16 = 9 \).
6. Так как \( D > 0 \), уравнение имеет два корня: \( x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{5 + 3}{2} = \frac{8}{2} = 4 \) и \( x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{5 - 3}{2} = \frac{2}{2} = 1 \).
7. Проверим ОДЗ (область допустимых значений). Под логарифмом должно быть положительное число.
8. Для \( x=4 \): \( x^2 - 5x + 6 = 4^2 - 5 \cdot 4 + 6 = 16 - 20 + 6 = 2 > 0 \).
9. Для \( x=1 \): \( x^2 - 5x + 6 = 1^2 - 5 \cdot 1 + 6 = 1 - 5 + 6 = 2 > 0 \).
10. Оба корня подходят.

Ответ: x₁ = 4, x₂ = 1.