log₀.₅ (3x-1) = -3

Решение:

Данное уравнение является логарифмическим: \( \log_{0.5} (3x-1) = -3 \).

Перепишем основание логарифма: \( 0.5 = \frac{1}{2} = 2^{-1} \).

Уравнение принимает вид:

\( \log_{2^{-1}} (3x-1) = -3 \)

По свойству логарифма \( \log_{a^k} b = \frac{1}{k} \log_a b \):

\( \frac{1}{-1} \log_2 (3x-1) = -3 \)

\( -\log_2 (3x-1) = -3 \)

Умножим обе части на -1:

\( \log_2 (3x-1) = 3 \)

Теперь представим правую часть в виде логарифма по основанию 2:

\( \log_2 (3x-1) = \log_2 (2^3) \)

\( \log_2 (3x-1) = \log_2 8 \)

Приравниваем аргументы логарифмов:

\( 3x-1 = 8 \)

Решаем линейное уравнение:

\( 3x = 8 + 1 \)

\( 3x = 9 \)

\( x = \frac{9}{3} \)

\( x = 3 \)

Проверим условие существования логарифма: \( 3x-1 > 0 \).

\( 3(3) - 1 = 9 - 1 = 8 > 0 \). Условие выполняется.

Ответ: x = 3