Используем свойство: $$a^{\log_a b} = b$$
Перепишем выражение: $$(9^2)^{\log_9 \sqrt{8}} = 9^{2 \log_9 \sqrt{8}} = 9^{\log_9 (\sqrt{8})^2} = 9^{\log_9 8} = 8$$
Ответ: 8