5. log1(x - 2) + log1(12 – x) ≥ −2 3 3

Решим логарифмическое неравенство:

$$log_{\frac{1}{3}}(x-2) + log_{\frac{1}{3}}(12-x) \ge -2$$

ОДЗ:

$$\begin{cases} x-2>0 \\ 12-x>0 \end{cases}$$ $$\begin{cases} x>2 \\ x<12 \end{cases}$$ $$2 < x < 12$$

Сумма логарифмов равна логарифму произведения:

$$log_{\frac{1}{3}}((x-2)(12-x)) \ge -2$$

$$log_{\frac{1}{3}}(-x^2+14x-24) \ge -2$$

Представим правую часть в виде логарифма по основанию 1/3:

$$log_{\frac{1}{3}}(-x^2+14x-24) \ge log_{\frac{1}{3}}(\frac{1}{3})^{-2}$$ $$log_{\frac{1}{3}}(-x^2+14x-24) \ge log_{\frac{1}{3}}9$$

Так как основание 1/3 < 1, то функция убывает, знак неравенства меняется:

$$-x^2+14x-24 \le 9$$

$$x^2-14x+33 \ge 0$$

Найдем корни квадратного уравнения:

$$x^2-14x+33 = 0$$

$$D = 14^2 - 4 \cdot 33 = 196-132 = 64$$

$$x_1 = \frac{14+\sqrt{64}}{2} = \frac{14+8}{2} = 11$$

$$x_2 = \frac{14-\sqrt{64}}{2} = \frac{14-8}{2} = 3$$

Тогда, решением квадратного неравенства является

$$x \le 3$$ или $$x \ge 11$$

Учитывая ОДЗ, получим решение:

$$2 < x \le 3$$ или $$11 \le x < 12$$

Ответ: $$2 < x \le 3$$ или $$11 \le x < 12$$