8. Маленький шарик подвешен на нити длиной 1 м к по толку вагона. При какой скорости вагона шарик будет особенно сильно колебаться под действием ударов колес о стыки рельсов? Длина рельса 12,5 м.

Чтобы шарик особенно сильно колебался, частота вынужденных колебаний (от ударов колес о стыки рельсов) должна совпадать с собственной частотой колебаний шарика (резонанс).

Собственная частота колебаний математического маятника (шарика на нити) определяется формулой: $$ν = \frac{1}{2π} \sqrt{\frac{g}{l}}$$, где l — длина нити, g — ускорение свободного падения.

Частота ударов колес о стыки рельсов определяется как: $$ν = \frac{v}{λ}$$, где v — скорость вагона, λ — длина рельса.

Приравняем частоты: $$\frac{1}{2π} \sqrt{\frac{g}{l}} = \frac{v}{λ}$$.

Выразим скорость: $$v = \frac{λ}{2π} \sqrt{\frac{g}{l}}$$.

Подставим значения: $$v = \frac{12.5 \text{ м}}{2π} \sqrt{\frac{9.8 \text{ м/с}^2}{1 \text{ м}}} ≈ \frac{12.5}{6.28} \sqrt{9.8} ≈ 1.99 \cdot 3.13 ≈ 6.23 \text{ м/с}$$.

Ответ: шарик будет особенно сильно колебаться при скорости вагона примерно 6,23 м/с.