8. Материальная точка движется по закону s(t) = -t3 + 9t² - 24t + 10 (s путь в метрах, t — время в секундах). а) В какой момент времени скорость точки равна 0? б) Был ли момент, когда ускорение было положительным? Ответ обоснуйте, найдя ускорение. в) Как вы думаете, в какой момент времени (на отрезке [0; 5]) точка находилась ближе всего к началу отсчета?

а) Скорость есть первая производная от пути по времени:

$$ v(t) = s'(t) = -3t^2 + 18t - 24 $$

Приравняем скорость к нулю:

$$ -3t^2 + 18t - 24 = 0 $$ $$ t^2 - 6t + 8 = 0 $$

Решим квадратное уравнение:

$$ D = (-6)^2 - 4(1)(8) = 36 - 32 = 4 $$ $$ t_1 = \frac{6 + \sqrt{4}}{2} = \frac{6 + 2}{2} = 4 $$ $$ t_2 = \frac{6 - \sqrt{4}}{2} = \frac{6 - 2}{2} = 2 $$

Скорость равна 0 в моменты времени t = 2 и t = 4 секунды.

б) Ускорение есть первая производная от скорости по времени (или вторая производная от пути по времени):

$$ a(t) = v'(t) = s''(t) = -6t + 18 $$

Ускорение будет положительным, когда a(t) > 0:

$$ -6t + 18 > 0 $$ $$ 6t < 18 $$ $$ t < 3 $$

Ускорение было положительным в любой момент времени t < 3 секунды.

в) Чтобы определить, в какой момент времени на отрезке [0; 5] точка находилась ближе всего к началу отсчета, необходимо найти минимальное значение пути на этом отрезке. Вычислим значения пути в критических точках (t = 2, t = 4) и на концах отрезка (t = 0, t = 5):

$$ s(0) = -(0)³ + 9(0)² - 24(0) + 10 = 10 $$ $$ s(2) = -(2)³ + 9(2)² - 24(2) + 10 = -8 + 36 - 48 + 10 = -10 $$ $$ s(4) = -(4)³ + 9(4)² - 24(4) + 10 = -64 + 144 - 96 + 10 = -6 $$ $$ s(5) = -(5)³ + 9(5)² - 24(5) + 10 = -125 + 225 - 120 + 10 = -10 $$

Найдем абсолютные значения координаты:

• |s(0)| = |10| = 10
• |s(2)| = |-10| = 10
• |s(4)| = |-6| = 6
• |s(5)| = |-10| = 10

Минимальное значение модуля пути на отрезке [0; 5] достигается в момент времени t = 4 секунды.

Ответ: а) В момент времени t = 2 и t = 4 секунды. б) Ускорение было положительным в любой момент времени t < 3 секунды. в) В момент времени t = 4 секунды.