2. Найдите точки экстремума функции f(x) = -x3 + 3x² + 9x - 5.

Чтобы найти точки экстремума функции, нужно найти производную функции, приравнять её к нулю и решить уравнение.

1. Найдём производную функции:

$$ f'(x) = -3x^2 + 6x + 9 $$

2. Приравняем производную к нулю:

$$ -3x^2 + 6x + 9 = 0 $$

3. Решим квадратное уравнение:

$$ x^2 - 2x - 3 = 0 $$

Дискриминант:

$$ D = (-2)^2 - 4(1)(-3) = 4 + 12 = 16 $$

Корни:

$$ x_1 = \frac{2 + \sqrt{16}}{2} = \frac{2 + 4}{2} = 3 $$ $$ x_2 = \frac{2 - \sqrt{16}}{2} = \frac{2 - 4}{2} = -1 $$

4. Определим знаки производной на промежутках:

• x < -1: f'(-2) = -3(-2)² + 6(-2) + 9 = -12 - 12 + 9 = -15 < 0
• -1 < x < 3: f'(0) = -3(0)² + 6(0) + 9 = 9 > 0
• x > 3: f'(4) = -3(4)² + 6(4) + 9 = -48 + 24 + 9 = -15 < 0

5. Определим характер экстремумов:

• x = -1 - точка минимума, так как производная меняет знак с минуса на плюс.
• x = 3 - точка максимума, так как производная меняет знак с плюса на минус.

Ответ: Точки экстремума: x = -1 (минимум), x = 3 (максимум).