4. Материальная точка массой 1 кг равномерно движется по окружности со скоростью 10 м/с. Найдите изменение импульса за одну четверть периода; половину периода; период.

При равномерном движении по окружности модуль скорости не меняется, но меняется направление скорости. Импульс - векторная величина.

Пусть скорость направлена вдоль оси x.

• За одну четверть периода (движение из точки А в точку B):
  

  
         B
         ^
         |
         |  R
         *--> A
          O
  

  
  

  $$\Delta p = m \cdot (\overrightarrow{v_B} - \overrightarrow{v_A})$$
  

  В проекциях на оси:
  $$\Delta p_x = m \cdot (0 - v) = -mv$$
  $$\Delta p_y = m \cdot (v - 0) = mv$$
  $$\Delta p = \sqrt{(\Delta p_x)^2 + (\Delta p_y)^2} = \sqrt{(-mv)^2 + (mv)^2} = \sqrt{2(mv)^2} = mv\sqrt{2}$$.

  
  

  $$\Delta p = 1 \text{ кг} \cdot 10 \frac{\text{м}}{\text{с}} \cdot \sqrt{2} = 10 \sqrt{2} \frac{\text{кг} \cdot \text{м}}{\text{с}} \approx 14,14 \frac{\text{кг} \cdot \text{м}}{\text{с}}$$.



• За половину периода (движение из точки А в точку C):
  

  
         |
         v
         C
         *--> A
          O
  

  
  

  $$\Delta p = m \cdot (\overrightarrow{v_C} - \overrightarrow{v_A})$$
  

  В проекциях на оси:
  $$\Delta p_x = m \cdot (-v - v) = -2mv$$
  $$\Delta p_y = 0$$
  $$\Delta p = |-2mv| = 2mv$$.

  
  

  $$\Delta p = 2 \cdot 1 \text{ кг} \cdot 10 \frac{\text{м}}{\text{с}} = 20 \frac{\text{кг} \cdot \text{м}}{\text{с}}$$.



• За период (возвращение в точку А):
  

  $$\Delta p = 0 \frac{\text{кг} \cdot \text{м}}{\text{с}}$$.

Ответ: 1) $$10\sqrt{2}$$ кг·м/с, 2) 20 кг·м/с, 3) 0 кг·м/с